錐擺——不同擺長的旋轉特性

錐擺——不同擺長的旋轉特性

物理 |

目的

演示轉動中的錐擺其擺長、質量、角速度等因素與擺錘垂直高度的關係。

實驗

實驗裝置：以三個相同質量的銅柱為擺錘，但長度不同的錐擺（conical pendulum），頂端連接在鐵環上。讓三個錐動擺以相同的角速度（也就是三個錐擺具有相同週期）繞轉軸作圓周運動，三個擺錘在旋轉時的垂直高度間會有什麼關係？

原理思考

決定擺錘的高低有那些因素？

錐擺運動時的受力圖如下：

force analysis of conical pendulum

其中
$\theta$ = 擺長與垂直線夾角

$m$ = 擺錘質量
$g$ = 重力加速度
$a$ = 向心加速度

$\omega$ = 旋轉角速度

$r$ = 旋轉半徑

$L$ = 擺長長度

$H$ = 運動時擺錘的垂直高度

分析上圖可知

$Tcos\theta =mg...(1)$

$Tsin\theta =ma...(2)$

其中向心加速度 $a=r\omega ^{2}$

另旋轉半徑 $r=Lsin\theta$

故 $Tsin\theta=ma=mLsin\theta \omega ^{2}$

推得繩張力 $T=mL\omega^{2}$

帶入(1)式可得 $Tcos\theta =mL\omega^{2}cos\theta =mg$

故得知錐擺擺錘的垂直高度

$H=Lcos\theta =\frac{g}{\omega ^{2}}$

從以上分析得知，擺錘的高度只和角速度及重力有關，與錐擺的擺長無關。

討論

1.擺錘重量的不同是否會改變高度？

2.影片中擺錘為何不是完全的在同一水平面上?

1.由前面的結果得知支點到平面距離(即錐擺的垂直高度 $H$ )為：

$H=Lcos\theta =\frac{g}{\omega ^{2}}$

所以錐擺垂直的高度和角速度與所在位置的重力有關；質量不影響旋轉角度所以不改變錐擺的垂直高度。

2.我們擷取高速攝影機的圖片可以看見

analysis of conical pendulum

中柱偏移了，所以理論支點到實際支點位置多了一段距離，又因每個擺長與中柱的 $\theta$ 皆不同，所以可以看見擺長的[理論支點不共點]，如果擺長不共支點那擺錘也就不會在同一水平面上。
因此支點到擺錘的垂直距離應該考慮系統上造成的誤差，錐擺擺錘的垂直高度 $L\times cos\theta$ =理論值-(理論支點道實際支點的高度差)。

關於實驗

1.本實驗於2011全國物理教學及示範研討會中發表。

2.擺線選擇不易彎曲且質量較輕的材料為宜。

3.操作時三組擺錘要確定角速度要相同。

參考資料

ROTATING PENDULA – LENGTH VS. HEIGHT(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

Lecture Demonstration Analysis Sheet. Richard E. Berg

Lee Larson and Roderick Grant, The Airplane Experiment, TPT 29, 564-565 (1991).

製作

邱瑋國

指導老師

朱慶琪

撰稿

邱瑋國